什么是整體思想？如何才能學好此類數(shù)學思想方法？

在數(shù)學學習過程中，我們除了要學習大量的數(shù)學知識和方法技巧之外，更要掌握好一些重要數(shù)學思想方法，如整體思想。

 

數(shù)學思想方法大家接觸過很多，如函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想等，不同的思想方法有不同的應用法則，或不同的數(shù)學思想方法可以一起“共用”，共同解決問題等。

 

像數(shù)形結合這些思想方法是大家接觸較多的，而對于整體思想的了解和應用，相對會少一些，因此為了能更好幫助大家提高對整體思想的了解，今天我們就一起來講講此類思想方法的“用法”。

 

什么是整體思想呢？

 

整體思想就是在解決數(shù)學問題時，將要解決的問題看作一個整體，通過對問題的整體形式、整體結構、已知條件和所求綜合考慮后得出結論。

 

更加直白的講整體思想就是指從問題的整體性質出發(fā)，突出對問題的整體結構的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯(lián)，進行有目的的、有意識的整體處理。

 

我們先一起來看一道具體的例子：

 

分解因式（x2+5x-3）（x2+5x+1）-21

 

解：設x2+5x-3=t，則x2+5x+1=t+4

 

原式=t（t+4）-21=t2+4t-21=（t+7）（t-3）

 

再將x2+5x-3=t代入上式

 

原式=（x2+5x-3+7）（x2+5x-3-3）

 

=（x2+5x+4）（x2+5x-6）

 

=（x+1）（x+4）（x+6）（x-1）

 

題干分析：

 

若把兩個二次三項式（x2+5x-3）與（x2+5x+1）相乘，則將得到一個四次多項式，這時再分解因式就十分困難。但若把（x2+5x-3）（或x2+5x）視為一個整體，即把（x2+5x-3）看成一個新變元t，原式就變形為關于t的二次多項式，問題就容易解決了。

 

解題反思：

 

由這道典型例題我們可以看出，對某些多項式的因式分解，如果前一項的兩個因式中只是常數(shù)項不同，則可將它們中的相同部分看成一個整體，用換元法可以降次，簡化解題過程。

 

在數(shù)學與學習過程中，學會應用整體思想法解數(shù)學題，就要學會把一些看似彼此獨立而實質是緊密相聯(lián)的量看成一個整體去設元、列式、變形、消元、代入或求值等。這樣做的目的可以使復雜的問題變得簡單，陌生的問題變得熟悉，還往往可以解決按常規(guī)方法解決不了的一些問題。

 

整體思想，典型例題分析2：

 

若a－2b=3，則2a－4b－5= 。

 

解：2a－4b－5=2（a－2b）－5=2×3－5=1。

 

故答案是：1。

 

題干分析：

 

把所求代數(shù)式轉化為含有（a－2b）形式的代數(shù)式，然后將a－2b=3整體代入并求值即可。

 

解題反思：

 

本題考查了代數(shù)式求值。代數(shù)式中的字母表示的數(shù)沒有明確告知，而是隱含在題設中，首先應從題設中獲取代數(shù)式（a－2b）的值，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值。

 

用整體思想解方程，就是先考慮方程中的某一個代數(shù)式整體去代入，然后再解出方程中的未知數(shù)的值就可以了。

 

整體思想，典型例題分析3：

 

 

考點分析：

 

完全平方公式；非負數(shù)的性質：偶次方；非負數(shù)的性質：算術平方根；題；整體思想。

 

題干分析：

 

根據(jù)非負數(shù)的性質先求出a2+1/a2、b的值，再代入即可．

 

解題反思：

 

本題考查了非負數(shù)的性質，完全平方公式，整體思想，解題的關鍵是整體求出a2+1/a2的值．

 

要想學好數(shù)學，就要加強對數(shù)學思想方法的理解。一定要深刻認識到數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的進一步提煉和升華，數(shù)學學習目除了需要扎實的基礎知識和方法技巧之外，更需要運用靈活的數(shù)學思想方法。

 

整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數(shù)學問題中的具體運用。

 

整體思想就是從問題的整體性質出發(fā)，突出對問題的整體結構的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結構特征，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯(lián)，進行有目的、有意識的整體處理。

 

整體思想，典型例題分析4：

 

例4：如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60度，∠B=∠D=90度，求四邊形ABCD的面積。

 

 

題干分析：

 

這是一個不規(guī)則的四邊形，欲求它的面積，可把它補成三角形或規(guī)則的四邊形，所求圖形的面積恰是兩個圖形面積的差。

 

本題還可以把原四邊形補成一個矩形、直角梯形、等邊三角形或平行四邊形，如圖2—圖5。

 

 

解題反思：

 

整體補形是補充完整，根據(jù)題設條件將原題中的圖形補足為某種特殊的圖形，溝通題設條件與特殊的圖形之間的關系，從而突出問題本質，找到較簡潔的解法或證法。

 

從這些典型例題，我們可以看出整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數(shù)學問題中的具體運用。

 

整體思想作為重要的數(shù)學思想之一，我們在解題過程中經(jīng)常使用。要想學會整體思想的應用，就要做到觀察全局、整體代入、整體換元、整體構造。

 

只有提高對整體思想的認識，把整體思想使用得恰當，才能提高解題效率和能力，減少不必要的和走彎路。如整體是與局部對應的，按常規(guī)不容易求某一個（或多個）未知量時，可打破常規(guī)，化繁為簡、變難為易，根據(jù)題目的結構特征，把一組數(shù)或一個代數(shù)式看作一個整體，從而使問題得到解決。

 

較后記住整體思想的主要表現(xiàn)形式有：整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想、整體補形、整體改造等等。

 

 

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