2021上海高考數學復習：收斂數列和函數收斂

　　1、收斂數列

　　令{an}為一個數列，且A為一個固定的實數，如果對于任意給出的b>0,存在一個正整數N，使得對于任意n>N,有|an-A|

　　2、函數收斂

　　定義方式與數列收斂類似�？挛魇諗繙蕜t：關于函數f(x)在點x0處的收斂定義。對于任意實數b>0,存在c>0,對任意x1,x2滿足0<|x1-x0|

　　收斂的定義方式很好的體現了數學分析的精神實質。

　　如果給定一個定義在區(qū)間i上的函數列，u1(x)， u2(x) ，u3(x)……至un(x)……. 則由這函數列構成的表達式u1(x)+u2(x)+u3(x)+……+un(x)+……⑴稱為定義在區(qū)間i上的(函數項)無窮級數，簡稱(函數項)級數

　　對于每一個確定的值X0∈I,函數項級數 ⑴ 成為常數項級數u1(x0)+u2(x0)+u3(x0)+……+un(x0)+.... (2) 這個級數可能收斂也可能發(fā)散。如果級數(2)發(fā)散，就稱點x0是函數項級數(1)的發(fā)散點。函數項級數(1)的收斂點的全體稱為他的收斂域 ，發(fā)散點的全體稱為他的發(fā)散域 對應于收斂域內任意一個數x，函數項級數稱為一收斂的常數項 級數 ，因而有一確定的和s。這樣，在收斂域上 ，函數項級數的和是x的函數S(x)，通常稱s(x)為函數項級數的和函數，這函數的定義域就是級數的收斂域，并寫成S(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+……+un(x)+……把函數項級數 ⑴ 的前n項部分和 記作Sn(x)，則在收斂域上有l(wèi)im n→∞Sn(x)=S(x)

　　記rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函數級數項的余項 (當然，只有x在收斂域上rn(x)才有意義，并有l(wèi)im n→∞rn (x)=0

　　3、數學分析術語發(fā)散

　　在數學分析中，與收斂相對的概念就是發(fā)散。發(fā)散級數指(按柯西意義下)不收斂的級數。如級數1+2+3+4+……和1-1+1-1+……，也就是說該級數的部分和序列沒有一個有窮極限。

　　如果一個級數是收斂的，這個級數的項一定會趨于零。因此，任何一個項不趨于零的級數都是發(fā)散的。不過，收斂是比這更強的要求：不是每個項趨于零的級數都收斂。其中一個反例是調和級數。